Bonjour à tous,

     Voici une petite réflexion statistique intéressante à propos des élections américaines.

     Et si, aux Etats-Unis, on votait plutôt au hasard, en tirant à pile ou face ? Ne riez pas, cela les sortirait au moins de la pagaille actuelle. Pourquoi ? Simplement parce qu'une majorité se dégagerait ainsi plus nettement qu'aujourd'hui ! Ceux qui ont l'âme mathématique ont sans doute été frappés, comme moi, par la situation tout à fait incroyable, d’un point de vue statistique, générée par ces élections présidentielles. En effet, dans l'Etat de Floride notamment, les écarts de voix entre les deux principaux candidats sont beaucoup plus faibles que si on tirait les votes à pile ou face.

     Essayez par exemple de lancer une pièce une dizaine de fois. En moyenne, vous êtes censés obtenir 5 fois Pile et 5 fois Face. Mais bien sûr, s'agissant d'un jeu de hasard, il se peut que vous obteniez en fait 4 Pile et 6 Face, par exemple, voire 3 Face et 7 Pile. En revanche, il est peu probable que vous obteniez 2 Pile et 8 Face, par exemple, sans parler de 10 Pile... Tout ca pour dire que dans un jeu de pur hasard, il y toujours des écarts par rapport à la moyenne, que l'on appelle "fluctuations statistiques". Ces fluctuations, toutefois, sont limitées. De trop grands écarts sont très improbables, et ne se réaliseront en pratique jamais. En revanche, de petits écarts sont fréquents, et il est même très rare (très improbable) de tomber exactement sur la moyenne. Mais comment définir un écart " petit " et un écart " grand " ? (Pas un grand écart ! ;-) )

     Par un raisonnement mathématique adéquat, on peut préciser le sens de ces termes, et montrer un résultat très général sur la taille des fluctuations statistiques. Qualitativement, ce résultat se comprend fort bien, et il ne surprendra personne. Le voici : les fluctuations statistiques sont d'autant plus faibles qu'on lance la pièce un plus grand nombre de fois. Ainsi, en lançant une pièce 10 fois, il n'est pas rare d'obtenir 40 % de Pile et 60 % de Face, par exemple (c'est-à-dire 4 Pile et 6 Face). Mais si vous lancez la pièce 1000 fois, il est TRES improbable que vous obteniez 40 % de Pile et 60 % de Face, car cela voudrait dire que la pièce est tombée 400 fois sur Pile, et 600 fois sur Face, ce qui représente un écart de 200 !

     Ceci relève du pur bon sens. Mais là où l'approche mathématique devient intéressante, c'est qu'elle permet de calculer précisément l'ordre de grandeur des fluctuations statistiques en fonction du nombre de pièces lancées. Le résultat est le suivant. Je l'énonce d'abord en termes mathématiques, puis je le traduis en langage commun sur des exemples particuliers : les fluctuations statistiques sont de type gaussien, avec une largeur relative typique en racine de 1/N, où N est le nombre de lancers. En français, cela veut dire que si je lance la pièce 100 fois, l'écart typique est de l'ordre de la racine carré de 100, c'est-à-dire, comme chacun sait, 10 (car 10 fois 10 = 100). De même, si je lance la pièce 10 000 (dix mille) fois, l'écart typique entre le nombre de Pile et le nombre de Face sera de l'ordre de 100 (qui est la racine carrée de 10 000). Et ainsi de suite...

     Le sens que l'on peut tirer de tout cela, c'est que lorsqu'on lance une pièce 10 000 fois, il ne faut pas être surpris de trouver, au bout du compte, un écart de l'ordre de 100 entre les nombres de Pile et de Face. En revanche, un écart très supérieur, comme 4200 Pile et 5800 Face par exemple, serait très surprenant. Ce n'est pas impossible, bien sûr (même 10000 Pile et 0 Face est en principe possible), mais la chance que cela se réalise est très faible.

     Revenons donc maintenant aux élections présidentielles américaines. Il y a environ 100 millions d'électeurs, c'est-à-dire 10 puissance 8. Si chacun lance une pièce avant d'aller voter, et décide de voter Gore si elle tombe sur Pile, et Bush si elle tombe sur Face, alors on doit s'attendre à avoir à peu près autant de votes pour Gore que pour Bush, mais pas exactement, à cause des fameuses fluctuations statistiques. Dans ce cas, quelles sont-elles ? Et bien c'est simple : appliquons notre loi. La racine carrée de 10 puissance 8 étant égale a 10 puissance 4, c'est-à-dire 10 000, on doit s'attendre à des écarts typiques de l'ordre de dix mille voix.

     Prenons maintenant le cas du fameux Etat de la Floride, cause de tous les problèmes. Il y a paraît-il 6 millions d'électeurs. Par le simple fait du hasard, c'est-à-dire dans le cas où aucune opinion ne guiderait les votes, on devrait donc obtenir un écart de voix de l'ordre de racine carrée de 6 millions, c'est-à-dire environ 2500 voix. C'est plus que l'écart obtenu à l'issue du dépouillement ! Même un vote au hasard donnant a priori une chance exactement égale aux deux candidats aurait fourni une différence de voix comparable, voire supérieure !

     Je ne suis pas en train de soupçonner les Américains de choisir leur président à Pile ou Face, mais force est de constater que le vote des électeurs de Floride est tout simplement ‘indistinguable’ d'un pur tirage au sort. Plus exactement, le résultat du vote n'est nullement significatif d'un point de vue statistique. Dans ces conditions, faire voter des singes ou des ordinateurs à la place des citoyens aurait donné un résultat en tout point semblable, et même éventuellement un résultat plus tranché, avec un écart plus net ! Dès lors, il me semble clair que l'on ne saurait considérer qu'une quelconque majorité se soit ainsi dégagée. On ne peut déceler aucune opinion significative des électeurs dans le résultat du scrutin. Si ce vote traduit une opinion, celle-ci est plus faible que le hasard même.

     Cela donne au moins à réfléchir, non ?

     Bonne méditation à tous ;-)

     Et vive la democratie !

Etienne Parizot
Chargé de recherche au CNRS

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